कक्षा नोट्स

1. परिचय

भौतिकी में प्रयुक्त सभी राशियों को मुख्यतः दो भागों में बाँटा जाता है — अदिश राशि (Scalar) और सदिश राशि (Vector)। यह विभाजन इस आधार पर किया जाता है कि किसी राशि को पूर्ण रूप से वर्णित करने के लिए केवल परिमाण की आवश्यकता है या परिमाण के साथ दिशा की भी।

2. अदिश राशि (Scalar Quantity)

परिभाषा: वे भौतिक राशियाँ जिन्हें पूर्ण रूप से केवल परिमाण (magnitude) तथा उचित मात्रक द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, अदिश राशियाँ कहलाती हैं। इनकी कोई दिशा नहीं होती।

उदाहरण:

• द्रव्यमान (Mass)
• समय (Time)
• ताप (Temperature)
• चाल (Speed)
• कार्य (Work)
• ऊर्जा (Energy)
• आयतन (Volume) तथा घनत्व (Density)

विशेषता: अदिश राशियों को सामान्य बीजगणित (arithmetic) के नियमों से जोड़ा, घटाया, गुणा या भाग किया जा सकता है। जैसे 5 किग्रा + 3 किग्रा = 8 किग्रा।

3. सदिश राशि (Vector Quantity)

परिभाषा: वे भौतिक राशियाँ जिन्हें पूर्ण रूप से व्यक्त करने के लिए परिमाण के साथ-साथ दिशा की भी आवश्यकता होती है तथा जो सदिश बीजगणित के नियमों का पालन करती हैं, सदिश राशियाँ कहलाती हैं।

उदाहरण:

• विस्थापन (Displacement)
• वेग (Velocity)
• त्वरण (Acceleration)
• बल (Force)
• संवेग (Momentum)
• भार (Weight)

निरूपण: सदिश राशि को एक तीर (arrow) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसकी लंबाई परिमाण को तथा तीर का सिरा दिशा को दर्शाता है। इसे प्रायः अक्षर के ऊपर तीर लगाकर (जैसे A के ऊपर एक छोटा तीर) या मोटे अक्षर (bold) में लिखा जाता है।

4. अदिश एवं सदिश में अंतर

अदिश राशि (Scalar Quantity)	सदिश राशि (Vector Quantity)
केवल परिमाण (magnitude) होता है, दिशा नहीं।	परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
साधारण बीजगणित के नियमों से जोड़ा/घटाया जाता है।	सदिश बीजगणित (त्रिभुज/समांतर चतुर्भुज नियम) से जोड़ा जाता है।
उदाहरण: द्रव्यमान, समय, ताप, चाल, कार्य, ऊर्जा, आयतन	उदाहरण: वेग, बल, त्वरण, विस्थापन, संवेग, भार
संख्या और मात्रक द्वारा पूर्णतः वर्णित।	संख्या, मात्रक और दिशा तीनों से वर्णित।

5. सदिश के प्रकार (Types of Vectors)

1. शून्य सदिश (Null/Zero Vector): जिसका परिमाण शून्य होता है और दिशा अनिश्चित होती है।
2. इकाई सदिश (Unit Vector): जिसका परिमाण एक (1) होता है, यह केवल दिशा दर्शाने हेतु प्रयुक्त होता है।
3. समान सदिश (Equal Vectors): जिनका परिमाण तथा दिशा दोनों समान हों।
4. ऋणात्मक सदिश (Negative Vector): जिसका परिमाण समान परन्तु दिशा विपरीत हो।
5. स्थिति सदिश (Position Vector): किसी बिंदु की मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष स्थिति दर्शाने वाला सदिश।
6. सह-आदि सदिश (Co-initial Vectors): जिनका प्रारंभिक बिंदु समान हो।
7. समरेखीय सदिश (Collinear Vectors): जो एक ही रेखा के अनुदिश या समांतर हों।

6. सदिशों का योग (Addition of Vectors)

(क) त्रिभुज नियम (Triangle Law)

यदि दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा क्रम में (परिमाण व दिशा में) दर्शाया जाए, तो त्रिभुज की तीसरी भुजा (विपरीत क्रम में) उनके परिणामी सदिश (resultant) को दर्शाती है।

(ख) समांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law)

यदि दो सदिशों को एक बिंदु से प्रारंभ होने वाले समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा दर्शाया जाए, तो उसी बिंदु से गुजरने वाला विकर्ण उनके परिणामी सदिश को परिमाण व दिशा में दर्शाता है।

सूत्र: R = वर्गमूल(A² + B² + 2AB cosθ), जहाँ θ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।

7. सदिश का विभाजन (Resolution of Vectors)

किसी सदिश को दो या दो से अधिक घटक सदिशों (components) में विभाजित करना, सदिश का विभाजन कहलाता है। समतल में किसी सदिश A को उसके लंबवत घटकों में इस प्रकार विभाजित किया जाता है — Ax = A cosθ (x-अक्ष के अनुदिश) तथा Ay = A sinθ (y-अक्ष के अनुदिश)।

8. सदिशों का गुणन (Multiplication of Vectors) — संक्षेप में

• अदिश गुणनफल / डॉट प्रोडक्ट (Scalar Product): A·B = AB cosθ — परिणाम एक अदिश राशि होती है। उदाहरण: कार्य (Work) = बल·विस्थापन।
• सदिश गुणनफल / क्रॉस प्रोडक्ट (Vector Product): A×B = AB sinθ (n̂ दिशा में) — परिणाम एक सदिश राशि होती है। उदाहरण: बल आघूर्ण (Torque)।

9. याद रखने योग्य मुख्य बिंदु (Quick Revision Points)

• सभी सदिश राशियाँ, राशियाँ होती हैं परंतु सभी राशियों में दिशा नहीं होती।
• दूरी (distance) अदिश है जबकि विस्थापन (displacement) सदिश है।
• चाल (speed) अदिश है जबकि वेग (velocity) सदिश है।
• दो सदिशों का योग हमेशा साधारण जोड़ से नहीं होता — दिशा को ध्यान में रखना आवश्यक है।
• धारा (current) को दिशा होते हुए भी अदिश राशि माना जाता है क्योंकि यह सदिश योग के नियम का पालन नहीं करती।

मॉडल प्रश्न-पत्र

विषय: भौतिक विज्ञान — अध्याय: सदिश एवं अदिश राशियाँ

पूर्णांक: 70                समय: 3 घंटे

सामान्य निर्देश: सभी खंड अनिवार्य हैं। प्रश्नों के अंक उनके सामने अंकित हैं।

खंड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रत्येक 1 अंक)

1. निम्न में से कौन-सी राशि सदिश है? (क) द्रव्यमान (ख) चाल (ग) विस्थापन (घ) समय
2. निम्न में से कौन-सी राशि अदिश है? (क) बल (ख) कार्य (ग) संवेग (घ) त्वरण
3. शून्य सदिश की दिशा होती है — (क) निश्चित (ख) अनिश्चित (ग) x-अक्ष के अनुदिश (घ) कोई दिशा नहीं होती
4. इकाई सदिश का परिमाण होता है — (क) शून्य (ख) एक (ग) अनंत (घ) चर
5. दो सदिशों के बीच अधिकतम कोण होने पर उनका परिणामी सदिश — (क) अधिकतम होता है (ख) न्यूनतम होता है (ग) शून्य होता है (घ) अनिश्चित होता है
6. धारा (Electric Current) को किस श्रेणी में रखा जाता है और क्यों — इसका सही कारण चुनें: (क) सदिश, दिशा होने के कारण (ख) अदिश, सदिश योग नियम न मानने के कारण (ग) न सदिश न अदिश (घ) दोनों
7. समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग किसमें होता है? (क) सदिश घटाव में (ख) सदिश योग में (ग) अदिश गुणन में (घ) दूरी मापने में
8. दो बलों 3N तथा 4N के लंबवत होने पर परिणामी बल का मान होगा — (क) 5N (ख) 7N (ग) 1N (घ) 12N
9. A·B = AB cosθ किसका सूत्र है? (क) क्रॉस गुणनफल (ख) डॉट गुणनफल (ग) योग (घ) घटाव
10. निम्न में से कौन-सी राशि सदिश गुणनफल का उदाहरण है? (क) कार्य (ख) बल आघूर्ण (टॉर्क) (ग) ऊर्जा (घ) शक्ति

खंड-ब : अति लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 2 अंक)

• अदिश राशि किसे कहते हैं? दो उदाहरण दीजिए।
• सदिश राशि किसे कहते हैं? दो उदाहरण दीजिए।
• स्थिति सदिश (Position Vector) से आप क्या समझते हैं?
• इकाई सदिश तथा शून्य सदिश में अंतर स्पष्ट कीजिए।
• दूरी और विस्थापन में कोई दो अंतर लिखिए।

खंड-स : लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 3 अंक)

1. त्रिभुज नियम की सहायता से दो सदिशों के योग को समझाइए। (आवश्यक चित्र सहित)
2. अदिश तथा सदिश राशियों में कोई तीन अंतर लिखिए।
3. समान सदिश, ऋणात्मक सदिश तथा समरेखीय सदिश को परिभाषित कीजिए।
4. किसी सदिश के आयताकार घटकों (rectangular components) को ज्ञात करने की विधि समझाइए।

खंड-द : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 5 अंक)

1. समांतर चतुर्भुज नियम को सिद्ध कीजिए तथा परिणामी सदिश का परिमाण एवं दिशा ज्ञात करने का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
2. सदिश योग के त्रिभुज नियम एवं बहुभुज नियम (Polygon Law) को उदाहरण सहित समझाइए।
3. डॉट गुणनफल तथा क्रॉस गुणनफल में अंतर स्पष्ट करते हुए प्रत्येक का एक-एक भौतिक उदाहरण दीजिए।

खंड-य : संख्यात्मक प्रश्न (प्रत्येक 5 अंक)

• दो बल 6N तथा 8N परस्पर 90° के कोण पर कार्यरत हैं। परिणामी बल का परिमाण तथा दिशा ज्ञात कीजिए।
• यदि दो सदिशों A तथा B का परिमाण क्रमशः 5 इकाई तथा 12 इकाई है तथा उनके बीच का कोण 60° है, तो उनके परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात कीजिए।
• एक सदिश की x-दिशा में घटक 4 इकाई तथा y-दिशा में घटक 3 इकाई है। सदिश का परिमाण तथा x-अक्ष से बनने वाला कोण ज्ञात कीजिए।