Permutations & Combinations – सैद्धांतिक नोट्स

यहाँ BPSC PT (बिहार लोक सेवा आयोग प्रारंभिक परीक्षा) के लिए Permutations and Combinations (क्रमचय एवं संचय) पर विस्तृत नोट्स, परीक्षोपयोगी ट्रिक्स और मॉडल प्रश्न पत्र हिंदी में दिया जा रहा है।

सूचना: BPSC PT में गणित के प्रश्न सामान्यतः 10+2 स्तर के होते हैं। इस टॉपिक से हर वर्ष 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं।

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भाग 1: Permutations & Combinations – सैद्धांतिक नोट्स

1. मूलभूत सिद्धांत (Fundamental Principles of Counting)

(क) गुणन सिद्धांत (Multiplication Principle)

यदि कोई कार्य m तरीकों से और दूसरा कार्य n तरीकों से हो सकता है, तो दोनों कार्य एक साथ m × n तरीकों से हो सकते हैं।

उदाहरण: अंक 2,3,5 से कितनी 2-अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं?
→ पहले स्थान के लिए 3 विकल्प, दूसरे के लिए 3 → 3×3 = 9

(ख) योग सिद्धांत (Addition Principle)

यदि दो कार्य परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हों, तो कुल तरीके = m + n

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2. क्रमचय (Permutation) – व्यवस्था (Arrangement)

परिभाषा: क्रमचय उन व्यवस्थाओं की संख्या है जहाँ क्रम मायने रखता है (Order matters).

सूत्र:
P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

जहाँ:

· n = कुल वस्तुएँ
· r = चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या

विशेष स्थितियाँ:

स्थिति सूत्र उदाहरण
n वस्तुओं को n स्थानों पर रखना (सभी भिन्न) n! (n factorial) 5 लड़कों को 5 कुर्सियों पर बैठाने के तरीके = 5! = 120
n में से r चुनकर व्यवस्थित करना P(n,r) 6 में से 3 को बैठाना = 6×5×4 = 120
सभी वस्तुएँ भिन्न न हों (समान वस्तुएँ हों) \frac{n!}{p! \cdot q! \cdot r!}

“MISSISSIPPI” शब्द के अक्षरों से कितने शब्द?

BPSC ट्रिक: Permutation का मतलब “Arrange” – जहाँ Position बदलने से नया परिणाम आता है।

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3. संचय (Combination) – चयन (Selection)

परिभाषा: संचय उन समूहों की संख्या है जहाँ क्रम मायने नहीं रखता (Order doesn’t matter).

सूत्र:
C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

महत्वपूर्ण गुण:

· C(n, r) = C(n, n-r)
· C(n, 0) = C(n, n) = 1
· C(n, 1) = n
· C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}

BPSC ट्रिक: Combination का मतलब “Select/Choose” – जहाँ चयन मात्र हो, व्यवस्था नहीं।

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4. क्रमचय और संचय में अंतर (सबसे महत्वपूर्ण)

क्रमचय (Permutation) संचय (Combination)
क्रम मायने रखता है क्रम मायने नहीं रखता
“व्यवस्था” (Arrangement) “चयन” (Selection)
P(n,r) का उपयोग C(n,r) का उपयोग
उदाहरण: ABC ≠ ACB उदाहरण: {ABC} = {ACB}
मान बड़ा होता है मान छोटा होता है

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5. महत्वपूर्ण सूत्र एक नज़र में (Exam Ready)

क्र. स्थिति सूत्र
1 r ≤ n के लिए क्रमचय P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

2 r ≤ n के लिए संचय C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

3 n भिन्न वस्तुओं का वृत्तीय क्रमचय (n-1)!

4 n में से r का चयन (हार/जीत) 2^n = C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)

5 n समान वस्तुओं में से r का चयन (पुनरावृत्ति सहित) C(n+r-1, r)

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भाग 2: BPSC PT मॉडल प्रश्न पत्र (हिंदी में)

निर्देश: प्रत्येक प्रश्न के 4 विकल्प हैं। उत्तर और व्याख्या अंत में दी गई है।

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1. “COMPUTER” शब्द के अक्षरों को कितने विभिन्न तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
   (A) 40,320
   (B) 20,160
   (C) 8
   (D) 56

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2. 5 लड़कों और 3 लड़कियों में से 4 सदस्यों वाली एक समिति बनानी है। कितने तरीकों से यह समिति बन सकती है?
   (A) 70
   (B) 35
   (C) 1680
   (D) 56

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3. एक कक्षा में 8 लड़के और 6 लड़कियाँ हैं। एक अध्यक्ष और उपाध्यक्ष का चुनाव कितने तरीकों से किया जा सकता है?
   (A) 14
   (B) 182
   (C) 91
   (D) 56

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4. “MISSISSIPPI” शब्द के अक्षरों से कितने भिन्न शब्द बनाए जा सकते हैं?
   (A) 11!
   (B) 34650
   (C) 39916800
   (D) 69300

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5. 5 पुरुषों और 4 महिलाओं में से 3 पुरुष और 2 महिलाओं की एक टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
   (A) 120
   (B) 60
   (C) 1260
   (D) 3024

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6. 7 व्यक्तियों को एक गोल मेज (circular table) पर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?
   (A) 5040
   (B) 720
   (C) 504
   (D) 7200

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7. अंक 1,2,3,4,5 से कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ (पुनरावृत्ति के बिना) बनाई जा सकती हैं?
   (A) 60
   (B) 24
   (C) 30
   (D) 48

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8. P(10,3) का मान क्या होगा?
   (A) 720
   (B) 120
   (C) 1000
   (D) 30

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9. C(15,13) का मान क्या होगा?
   (A) 105
   (B) 15
   (C) 210
   (D) 455

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10. एक थैले में 5 लाल, 4 नीली और 3 हरी गेंदें हैं। 3 गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं। कितने तरीकों में सभी गेंदें अलग-अलग रंग की हों?
    (A) 60
    (B) 220
    (C) 12
    (D) 2200

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भाग 3: उत्तर एवं विस्तृत व्याख्या (BPSC PT Approach)

प्रश्न सही उत्तर व्याख्या
1 (A) 40,320 “COMPUTER” में 8 भिन्न अक्षर हैं। तरीके = 8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40,320
2 (A) 70 कुल = 5+3 = 8 व्यक्ति। C(8,4) = 8!/(4!×4!) = 70 (क्रम नहीं, केवल चयन)
3 (B) 182 अध्यक्ष के लिए 14 विकल्प, उपाध्यक्ष के लिए 13 → 14×13 = 182 (क्रम मायने रखता है)
4 (B) 34650 MISSISSIPPI: M=1, I=4, S=4, P=2, कुल=11 → 11!/(4!×4!×2!) = 34650
5 (B) 60 पुरुष: C(5,3)=10, महिला: C(4,2)=6 → 10×6=60
6 (B) 720 वृत्तीय क्रमचय = (n-1)! = 6! = 720
7 (B) 24 सम संख्या के लिए अंतिम अंक सम (2 या 4) → 2 विकल्प। शेष 2 स्थानों के लिए P(4,2)=12 → 2×12=24
8 (A) 720 P(10,3) = 10×9×8 = 720
9 (A) 105 C(15,13) = C(15,2) = (15×14)/2 = 105
10 (A) 60 1 लाल + 1 नीला + 1 हरा = C(5,1)×C(4,1)×C(3,1) = 5×4×3 = 60

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अतिरिक्त BPSC PT टिप्स:

1. पहचानें: प्रश्न में “Arrange” या “Position” शब्द → Permutation, “Select” या “Committee” → Combination
2. गलती से बचें: जहाँ क्रम न हो, वहाँ Permutation न लगाएँ – अन्यथा उत्तर बहुत बड़ा आएगा।
3. अभ्यास हेतु: NCERT कक्षा 11 की पुस्तक का अध्याय 6-7 हल करें।

नोट: BPSC PT में प्रश्न सामान्यतः सीधे सूत्र आधारित होते हैं, अत्यधिक कठिन प्रश्न नहीं आते।

अभ्यास करते रहें – सफलता निश्चित है!