Number System प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Bank, Railway, UPSC, State Exams) के आधार पर बनाए गए प्रश्न और उन्हें हल करने की ट्रिक्स (Shortcuts) दी गई हैं।
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भाग 1: महत्वपूर्ण ट्रिक्स (Shortcuts)
1. विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules):
- 2: अंतिम अंक सम (0,2,4,6,8) हो।
- 3: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
- 4: अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों।
- 5: अंतिम अंक 0 या 5 हो।
- 6: 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।
- 8: अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों।
- 9: अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।
- 11: सम स्थान (Even places) और विषम स्थान (Odd places) के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 से विभाज्य हो।
2. अभाज्य संख्या (Prime Number) जाँचने की ट्रिक:
- यदि कोई संख्या n है, तो उसे √n से कम या बराबर वाले सभी अभाज्य संख्याओं से भाग दें। यदि किसी से भाग नहीं लगता, तो वह अभाज्य है।
3. इकाई अंक (Unit Digit) ज्ञात करने की ट्रिक (Cyclicity):
- 0,1,5,6 की Cycle = 1 (हर बार वही अंक आता है)
- 2,3,7,8 की Cycle = 4
- 4,9 की Cycle = 2
4. महत्वपूर्ण सूत्र:
- (1 + 2 + 3 + … + n) = n(n+1)/2
- (1² + 2² + … + n²) = n(n+1)(2n+1)/6
- (1³ + 2³ + … + n³) = [n(n+1)/2]^2
- भागफल-शेषफल: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल
भाग 2: पुराने प्रतियोगी प्रश्न (Old Model Questions) हल सहित
Q1. (SSC CGL 2022 के समान)
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 11 से विभाज्य है?
A) 8793412
B) 8794312
C) 8793421
D) 8792431
Trick: 11 का नियम लगाएं (Odd – Even = 0 या 11)।
हल (Solution):
- विकल्प A: (7+3+1) – (9+4+2) = 11 – 15 = -4 (नहीं)
- विकल्प B: (7+4+1) – (9+3+2) = 12 – 14 = -2 (नहीं)
- विकल्प C: (7+3+1) – (9+4+2) = 11 – 15 = -4 (नहीं)
- विकल्प D: (7+4+1) – (9+2+3) = 12 – 14 = -2 (नहीं)
सभी गलत लग रहे, चलिए एक और प्रचलित प्रश्न देखते हैं।
(सही विकल्प न होने पर आप इसे 11 से भाग देकर देखें।)
Q2. (Bank PO के समान)
किसी संख्या को 119 से भाग देने पर शेषफल 19 आता है। यदि उसी संख्या को 17 से भाग दें, तो शेषफल क्या होगा?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Trick: भाज्य = 119k + 19। अब 119, 17 से पूर्णतः विभाज्य है (119 = 17 × 7)।
इसलिए शेषफल = 19 ÷ 17 = 2 शेष।
उत्तर: विकल्प A (2)
Q3. (Railway NTPC)
4¹⁰ + 4¹¹ + 4¹² + 4¹³, किस संख्या से पूर्णतः विभाज्य है?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 17
Trick: समान पद (Common) लें।
4¹⁰ (1 + 4 + 16 + 64) = 4¹⁰ (85)
85 = 5 × 17
अतः यह 5 और 17 दोनों से विभाज्य है। लेकिन विकल्प में 17 है।
उत्तर: विकल्प D (17)
Q4. (SSC CHSL)
दो संख्याओं का योग 45 है तथा उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 9 है। उनके बीच अंतर कितना हो सकता है?
A) 18
B) 27
C) 9
D) 36
Trick: यदि HCF = 9, तो संख्याएँ 9a और 9b होंगी (जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं)।
9a + 9b = 45 ⇒ a + b = 5
सह-अभाज्य जोड़े: (1,4) और (2,3)
संख्याएँ: (9,36) या (18,27)
अंतर: 36-9 = 27 या 27-18 = 9
उत्तर: विकल्प B (27) या C (9) दोनों हो सकते हैं, प्रश्न में यदि एक विकल्प माँगा हो तो B लें।
Q5. (UP Police)
किसी संख्या के 2/7 भाग का 3/5 भाग, उसी संख्या के 1/5 भाग से 56 अधिक है। संख्या ज्ञात करें।
A) 490
B) 560
C) 630
D) 720
Trick: माना संख्या = x
(2/7) × (3/5) × x = (1/5)x + 56
(6/35)x – (1/5)x = 56
(6/35 – 7/35)x = 56 ⇒ (-1/35)x = 56 ⇒ x = 1960 (यहाँ चिन्ह गलत आया, चलिए सही करते हैं।)
वास्तव में: (6/35)x – (1/5)x = 56 ⇒ (6/35 – 7/35)x = 56 ⇒ -x/35 = 56 ⇒ x ऋणात्मक आएगा।
मतलब प्रश्न में ‘अधिक’ के स्थान पर ‘कम’ होना चाहिए था। इसे इग्नोर करें, नीचे सही प्रकार देखें।
Q6. (सही प्रकार का प्रश्न)
किसी संख्या के 3/4 का 2/5, उस संख्या के 1/3 से 28 अधिक है। संख्या ज्ञात करें।
Trick: x × (3/4) × (2/5) = (x/3) + 28
(6/20)x – (1/3)x = 28 ⇒ (3/10 – 1/3)x = 28 ⇒ (9-10)/30 x = 28 ⇒ -x/30 = 28 (यह भी गलत है, ध्यान दें।)
सही समीकरण: (6/20)x = (x/3) + 28
(3/10)x – (1/3)x = 28
(9 – 10)/30 x = 28 ⇒ -x/30 = 28
यहाँ ऋणात्मक आ रहा है, अतः ऐसे प्रश्नों में ‘अधिक’ शब्द को गंभीरता से लें। मैं आपको बिना ऋणात्मक वाला प्रश्न दे रहा हूँ।
Q7. (सामान्य प्रश्न)
दो संख्याओं का योगफल 40 है तथा उनका गुणनफल 375 है। उन संख्याओं के व्युत्क्रमों (Reciprocals) का योग ज्ञात करें।
A) 8/75
B) 75/8
C) 40/375
D) 1/40
Trick: माना संख्याएँ a और b हैं।
a + b = 40, ab = 375
1/a + 1/b = (a+b)/ab = 40/375 = 8/75
उत्तर: विकल्प A (8/75)
Q8. (SSC GD)
एक नगर की जनसंख्या 80000 है। यदि यह प्रति वर्ष 10% की दर से बढ़ती है, तो 2 वर्ष बाद जनसंख्या क्या होगी?
Trick: चक्रवृद्धि (Compound) सूत्र: P(1 + R/100)^t
= 80000 (110/100)^2 = 80000 × (11/10)^2 = 80000 × 121/100 = 96800
Q9. (कठिन स्तर)
एक भिन्न के अंश (Numerator) में 40% वृद्धि और हर (Denominator) में 20% कमी करने पर वह 3/2 हो जाती है। मूल भिन्न ज्ञात करें।
Trick: माना भिन्न = x/y
(x का 140%) / (y का 80%) = 3/2
(140x/100) / (80y/100) = 3/2 ⇒ (140x)/(80y) = 3/2 ⇒ (7x)/(4y) = 3/2
⇒ 14x = 12y ⇒ x/y = 12/14 = 6/7
Q10. (इकाई अंक पर आधारित)
23⁴³ × 34⁵⁶ का इकाई अंक (Unit Digit) क्या होगा?
Trick:
- 23 का इकाई अंक 3 है। 3 की Cycle = 4। 43 ÷ 4 → शेष 3 ⇒ 3³ = 27 (इकाई अंक 7)
- 34 का इकाई अंक 4 है। 4 की Cycle = 2। 56 ÷ 2 → शेष 0 ⇒ 4² = 16 (इकाई अंक 6)
- गुणा: 7 × 6 = 42 ⇒ इकाई अंक 2।
भाग 3: परीक्षाओं में पूछे गए कुछ विशेष प्रश्न (Memory Based)
| प्रश्न | ट्रिक/उत्तर |
| Q11: वह सबसे बड़ी संख्या जो 24, 30 और 36 को विभाजित करे? | HCF = 6 |
| Q12: वह सबसे छोटी संख्या जो 24, 30 और 36 से विभाज्य हो? | LCM = 360 |
| Q13: 1 से 100 तक कुल कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं? | 25 (2,3,5,7,11….97) |
| Q14: 0 और 1 के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ हैं? | अनंत (Infinite) |
| Q15: दशमलव 0.overline{123} को भिन्न में बदलें। | 123/999 = 41/333 |
भाग 4: नोट करने योग्य बातें (Exam Tips)
- शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem): यदि (a^n + b^n) है, तो यह (a+b) से विभाज्य होगा यदि n विषम (Odd) है।
- Last Two Digits: किसी संख्या के अंतिम 2 अंक ज्ञात करने के लिए, उसे 100 से भाग दें।
- दो अंकों की संख्या का पलटना: यदि संख्या 10x + y है और पलटने पर 10y + x हो, तो अंतर हमेशा 9(x-y) होता है।
- कोई भी संख्या जो 3 और 4 दोनों से विभाज्य है, 12 से विभाज्य होती है।
✅ निष्कर्ष: संख्या प्रणाली में विभाज्यता नियम, LCM/HCF, इकाई अंक (Cyclicity), और भिन्न वाले प्रश्न सबसे ज्यादा पूछे जाते हैं। अधिकतम प्रश्न 30 सेकंड में ट्रिक से हल करने की कोशिश करें।
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